进制与数制系统
基础概念
基通俗讲解
“进制”就是逢几进一。我们日常用十进制（逢10进1），计算机用二进制（只有 0 和 1，因为电路只有通/断两态）。
- 二进制：数字仅 0、1，权值 2⁰,2¹,2²…
- 八进制：0–7，每 1 位八进制 = 3 位二进制
- 十六进制：0–9 加 A–F（A=10…F=15），每 1 位 = 4 位二进制，常用于表示颜色/内存地址
任一个 R 进制数，每一位的“权重”是 R 的位数次方，从右往左第 k 位权为 Rᵏ（k 从 0 开始）。
核心必背考点
背直接默写拿分
- 十进制 → R 进制：整数部分 “除 R 取余，逆序排列”；小数部分 “乘 R 取整，顺序排列”。
- R 进制 → 十进制：按权展开求和，如 (1011)₂ = 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰ = 11。
- 二进制 → 十六进制：从右往左 每 4 位一组，直接对应 1 位十六进制（8421 法）。
- 二进制 → 八进制：每 3 位一组。
高频难点 / 拉分考点
难考场极易丢分
① 小数转换：十进制小数转二进制常出现无限循环（如 0.1），初赛多选“近似值”。
② 跨进制比大小：不同进制的数比较，务必先统一转成十进制再比，不能直接看位数。
③ 带字母的十六进制：如 (1A)₁₆ = 1·16+10 = 26，字母必须换算成数值。
出题陷阱
坑文字套路
- “10”在二进制里是 2，不是十！题目若没写清进制，易惯性当十进制。
- 十六进制
0x10中0x只是前缀，值仍是 16，别把 0 算进权值。 - 字母大小写（a 与 A）数值相同，别被迷惑。
90分高分技巧
技速算捷径
- 8421 口诀：二进制 4 位 1111 = 8+4+2+1 = 15 = F。看到 1010 → 8+0+2+0 = 10 = A。
- 奇偶一眼判：二进制末位是 1 为奇数，0 为偶数，不用整体换算。
- 2 的幂：二进制 1 后跟 k 个 0 = 2ᵏ，秒读。
梯度真题
基础二进制 (1101)₂ 转十进制
按权展开即可。
| 1 | 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 |
| 2 | = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 |
▍解析：答案为 13。注意从右往左位数从 0 计。
中档十进制 45 转二进制
除 2 取余：45→22余1，22→11余0，11→5余1，5→2余1，2→1余0，1→0余1；逆序得 101101。
| 1 | 45 /2 = 22 ...1 |
| 2 | 22 /2 = 11 ...0 |
| 3 | 11 /2 = 5 ...1 |
| 4 | 5 /2 = 2 ...1 |
| 5 | 2 /2 = 1 ...0 |
| 6 | 1 /2 = 0 ...1 |
| 7 | => 101101 |
▍解析：答案为 101101，即 (2D)₁₆。
压轴判断 (1010)₂、(12)₈、(A)₁₆ 的大小关系
全部转十进制比较：
(1010)₂ = 10；(12)₈ = 1·8+2 = 10；(A)₁₆ = 10。三者相等。
▍解析：答案为 三者相等。这类题专考“别被进制表象骗”。
记忆口诀
技📌 记忆口诀
“除基取余逆着写，按权求和正着算；二转十六四合一，8421 记心间。”
📝 本节自测共 6 题
做完点「提交本节自测」即时判分；单选 / 多选 / 填空混合，答错可一键收入错题本。
二进制数 1010 对应的十进制是？ 易
✅ 正确答案：A
1010 = 8 + 2 = 10。
十进制数 15 写成二进制是 ____ 。 填空题 中
✅ 正确答案：1111
15 = 8 + 4 + 2 + 1 → 1111。
下列哪些是合法的二进制数？（多选） 多选题 难
✅ 正确答案：ABD
二进制只含 0/1；2A 含数字 2 与字母，非法。
十进制 10 的二进制表示是 ____ 。（填空） 填空题 易
✅ 正确答案：1010
10 = 8+2 → 1010。
下列哪些属于外存储设备？（多选） 多选题 中
✅ 正确答案：ABC
硬盘 / 光盘 / U盘是外部存储；CPU 是运算核心，不是存储设备。
关于哈希（Hash），下列说法正确的有哪些？（多选） 多选题 难
✅ 正确答案：ABD
哈希可能冲突且不可逆，常用于 O(1) 查找。